Die Untersuchungen zum Thema GPS sind Teil des Rasenmäher-Projekts. Wichtige Randbedingung (im wahrsten Sinne des Wortes!): Die Blumenbeete meiner Frau dürfen nicht mit gemäht werden!

Global Positioning System

Die Genauigkeit der Positionsbestimmung durch GPS liegt bekanntermaßen im Bereich von etwa 10 Metern. Aber es geht genauer! GPS-Systeme zur Messung der Plattentektonik oder Erdbeben können Geschwindigkeiten von einigen Zentimetern pro Jahr ermitteln. Dazu sind entsprechend präzise Ortsbestimmungen notwendig.

Klar, es werden spezielle Geräte benutzt, die von sich eine bessere Positionsbestimmung ermöglichen als die handelsüblichen Navigationsgeräte. Aber im Wesentlichen erhält man die geforderte Genauigkeit, in dem man viele Messungen über einen längeren Zeitraum, z.B. einen Tag, mittelt. Hierdurch können zufällige Fehler zuverlässig eliminiert werden. Wie kommt man beim Rasenmäher, der ja nicht stationär auf einer Stelle steht, zu einer Mittelung der Werte? Durch Sensorfusion! Durch Hinzunahme weiterer Bewegungsdaten (z.B. aus Odometrie) lässt sich die Bewegung des Systems abschätzen und die GPS-Werte genau um diese Bewegung korrigieren. Odometrie und GPS sollten sich vortrefflich ergänzen. Odometrie-Daten sind auf kurzen Entfernungen recht präzise, weisen aber wegen der Fehlerfortpflanzung eine schlechte Langzeit-Stabilität auf. Bei GPS ist es genau umgekehrt.

Bei der Messung zur Tektonik und auch bei der üblichen Straßennavigation werden absolute Positionsbestimmungen durchgeführt. Im Falle des Rasenmähers ist eine absolute Positionsbestimmung nicht notwendig. Interessanter ist eine differentielle Angabe, d.h. wie weit und in welche Richtung habe ich mich von einer ursprünglichen Position, z.B. einer Akku-Ladestation, entfernt. Hierdurch ist es möglich, z.T. auch systematische Fehler zu eliminieren. Voraussetzung: Diese Fehlerquellen sind zeitlich einigermaßen stabil. Dann tauchen die Fehler in allen Messwerten gleichermaßen auf und werden durch die Differenzbildung eliminiert.

Das meisten GPS-Gerät liefern die Daten im NMEA-Format. Hier erfolgen die Positionsangaben mit einer Genauigkeit von 0,000.1 Bogenminuten. Die Entfernung, die einem Breitengrad entspricht ist etwa 111,32 km. Mit NMEA-Format kann also somit Positionen mit eine Genauigkeit von etwa 18 cm darstellen (Dies ist nicht die Genauigkeit der Positionsbestimmung, sondern nur die des Datenformats!). Bei den Längengrades ist es etwas komplizierter, da die Länge eines Längengrads von der zugehörigen Breite abhängt.

Versuche

Die ersten Versuche habe ich mit einem Bluetooth-GPS-Empfänger durchgeführt.

GPS-Maus

Vermutlich ein Variotek vt-bt-204 oder etwas ähnliches. Der Aufdruck ist "65 Channels". Weitere Hersteller- oder Typenbezeichnungen fehlen.

Bei ruhig liegendem Gerät wurden die Positionsmessungen aus einer etwa zweistündigen Messung mit VisualGPS ausgewertet. Insgesamt liegen gut 7000 Positionswerte vor.
GPS-Plot

Die blauen Linien repräsentieren die virtuelle "Bewegung" der GPS-Maus. Die grüne Ellipse stellt den Mittelwert und die Fehlerellipse der Standardabweichung dar. Schwarz ist die Position dargestellt, die mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate ermittelt wurde.

Wenn man die geografischen Daten in Entfernungen umrechnet, stellt man fest, dass sich die Messwerte in einem Umkreis von etwa  5 Metern befinden. Dies entspricht der erwarteten Genauigkeit.

N 7344
σx 1,77 m
σy 1,47 m
σr 2,30 m
σr 0,027 m

Insgesamt wurden 7344 Positionsmessungen ausgewertet (N). Die Standardabweichung bei den Breitenangaben (σx) betrug 1,8 m, die bei den Längenangaben (σy) 1,5 m. Bezogen auf die Entfernung vom Mittelpunkt (σr) lag die Abweichung der Messwerte bei 2,3 m. Der mittlere Fehler des Mittelwerts (σr) betrug 0,027 m. D.h. die tatsächliche Position des GPS-Empfängers (genauer: die Antenne) befindet sich um Umkreis von 2,7 cm vom berechneten Mittelwert.

Die letzte Angabe ist schon beindruckend: Eine GPS-Bestimmung mit handelsüblichen, einfachen Geräten auf 2,7 cm genau! Für die Steuerung eines Rasenmähers wäre das durchaus ausreichend.

Es gibt jedoch einige Dinge zu berücksichtigen.

  1. Messzeit. Erst nach rd. zwei Stunden wurde diese Genauigkeit erreicht. Bis dahin, besonders in der ersten Zeit, war eher Blindflug angesagt. Die Ersten Messungen lagen auch keineswegs in der Nähe des Mittelpunkts der Punktewolke sondern am oberen Rand. D.h. zu Beginn wichen die ersten Werte rd. 4 m vom Mittelwert ab. Da passt schon 'mal ein Blumenbeet dazwischen.
    Nur der Vollständigkeit halber: Verlängert man die Messzeit auf einen Tag, kann man die Position mit dem Gerät auf 0,8 cm genau bestimmen. Verrechnet man dann mehrere Tage in einer Regressionskurve wird deutlich, dass man Positionsunterschiede im Zentimeterbereich pro Jahr durchaus messen kann.
    Verkürzt man die Messzeit auf ca. ½ Stunde, was der Akkukapazität eher entspricht, erhöht sich der Fehler auf 5,4 cm.
  2. Die o.g. Angaben sind Wahrscheinlichkeitsangaben. Wenn man viele gleichartige Versuche durchführt, werden bei rd. 2/3 die Werte in diesem Bereich liegen. Bei etwa 1/3 aber außerhalb. Pech für die Blumen!
  3. Über die Mittelwertbildung können nur zufällige Fehler "ausgemittelt" werden. Systematische Fehler bleiben ein Problem. Solch eine Situation liegt z.B. dann vor, wenn ein Satellit aus dem Sichtfeld des GPS-Geräts verschwindet oder neu hinzukommt. Hier kann es zu Sprüngen kommen. Die Bewegung der Satelliten führt zu einer Drift bei der Positionsmessung. Bei Langzeitmessungen mitteln sich auch diese Probleme aus, bei kurzen Messzeiten jedoch nicht.

Nächster Schritt: GPS-Empfänger in Betrieb nehmen.